机器学习—优化器与正则化

在介绍各类优化器之前，我们先来看一下经典的优化算法。

经典的优化算法可以分为直接法和迭代法两大类。
直接法就是直接对损失函数求导找出损失函数的全局最小值，但是这种方法具有两个局限性，首先损失函数必须是凸函数，其次损失函数倒数等于0的时候必须有闭式解，比如求解线性回归时，涉及到的矩阵的逆，可有些时候矩阵是不存在逆的，因此就无法求解，而且当数据维度较大时，矩阵的逆运算十分复杂会占用较大的内存，因此直接法通常不会被应用在实际应用中。

在深度学习中，迭代法往往被应用与对参数的更新。迭代法希望找到一个更好的估计值 θt+δ 来替代θ。迭代法分为一阶迭代和二阶迭代。一阶迭代被称为梯度下降法，而二阶迭代被称为牛顿法。

一阶迭代采用了对损失函数的一阶泰勒展开，即：

加上L2正则化，我们的目标变为：

因此，一阶法的迭代公式为：

二阶法是对损失函数进行二阶泰勒展开：


二阶法的迭代公式：

二阶法也称为牛顿法，Hessian矩阵就是目标函数的二阶信息。二阶法的收敛速度一般要远快于一阶法，但是在高维情况下，Hessian矩阵求逆的计算复杂度很大，而且当目标函数非凸时，二阶法有可能会收敛到鞍点（Saddle Point）。

好了，现在我们继续介绍优化器：

首先说一下梯度下降法的问题，梯度下降法在对参数进行更新时需要用到全部的数据，在深度学习中，数据量往往是是非庞大的，如果所有的数据都参数一次参数的更新，那计算开销和计算效率十分的低。因此，提出了随机梯度下降法（SGD）来解决这个问题。随机梯度下降只用到所有样本中的一个样本对参数进行更新，这大大的提高了反向传播的效率。但是，由于只用一个样本对参数进行更新会增加随机梯度的方差，因此大牛们又提出了小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent。该方法采用数据批处理的方式，每次更新只使用一小批数据进行更新，不仅降低了梯度的方差，还提高了反向传播的参数更新速度。

随机梯度下降
随机梯度下降在上面已经讲过了，因此这里只给出公式：

梯度每次更新取决于学习率和梯度，梯度控制下降的方向，学习力控下降的步伐，学习率越大，梯度下降得越快，但是学习率太大的话会使算法最后很难收敛，反之如果学习率太小的话会导致手链太慢的影响，因此学习率的调控对算法优化具有重大意义。

带有动量（Momentum）的梯度下降法
在梯度下降时，有两种情况最为致命，其一是“峡谷”，即局部极小值，梯度下降法会在峡谷内发生震荡。其二是鞍点，鞍点处的偏导数同样为零，会给算法造成已经收敛的假象。因此，我们希望算法在收敛时具有一定的“惯性”，这类似于运动物理学，如果算法下梯度下降时具有一定的惯性，那么可能会冲出峡谷和鞍点继续向全局最小值的方向收敛。

其实这个思想很简单，我们只需要在下一个更新的时刻添加上一时刻的方向，使其在原用的方向上保持一定的惯性，公式表达为：

AdaGrad:
加入动量的梯度下降法虽然一定程度上克服了峡谷问题和鞍点问题，但是学习率需要人为不断调试。AdaGrad希望能够根据数据出现的频次以及时间的推移自适应的控制学习率，从而是优化过程更够更快更准的收敛，AdaGrad的公式如下：

其中θ t+1,i 表示（t+1）时刻的参数向量θ t+1 的第i个参数，g k,i 表示k时刻的梯度向量g k的第i个维度（方向）。

通过公式我们可以发现，对于经常出现的数据（i代表数据类别），其梯度累积的越大，而对于出现频次很小的数据，梯度累积就很小，这就保证了在出现次数较少的数据上更新的幅度大一些，在出现频次较大的数据上更新的更慢一些，并且随着时间的推移，学习率逐渐在衰减。因此AdaGrad可以做到自适应的改变学习率来调控参数更新。

Adam：
这个方法就比较牛逼了，如果在深度学习中你拿不住哪个优化器更好，那就选它吧。Adam将结合了梯度的一阶矩和二阶矩，一方面通过梯度一阶矩为梯度下降提供了动量，另一方面通过梯度二阶矩提高环境的感知能力，可以自适应的调控学习率使其更快的收敛到全局最优（也可能是局部最优），Adam的计算公式为：

其中β 1 ，β 2 为衰减系数，m t 是一阶矩，v t 是二阶矩。这里对m与v进行了偏置矫正。
Adam使用了一种滑动窗口内求平均的思想，时间久远的梯度对当前的平均值的贡献以指数的方式进行衰减。当m较大，v较大时，梯度下降平稳，这意味着当前正处于一个大坡的环境。当m较小，v较大时，此时可能正处于“峡谷”地带，有可能陷入局部最小值。当m较大，v较小时，这不可能出现。当m较小，v也较小时，算法可能基本收敛，但是也可能到达了“平坦”区。

正则化在机器学习中主要使用的是L2正则化和L1正则化，它们虽然都起到正则化的左右，但是对参数的处理效果却大相径庭。

为什么需要正则化？
在机器学习中（或深度学习）有些模型过于复杂导致模型训练阶段产生过拟合（训练集的损失和准确率与验证集的损失和准确率相差很大）。过拟合是指模型的学习能力太强了，将一些噪音点和数据的复杂规律都学到了，但这却降低了模型的泛化能力。为了避免过拟合，正则化是一种十分有效的手段。

什么是正则化？
正则化就是对参数进行削减，可以从参数量和参数大小两个角度出发。

L1正则化与L2正则化的区别
解释1：解空间形状
事实上，带有正则化的损失函数与带有约束项的损失函数是等价的。为了约束w的可能取值空间从而防止过拟合，我们为该最优化问题加上一个约束，就是w的L2范数的平方不能大于m：

为了求解带约束条件的凸优化问题，写出拉格朗日函数

对上述拉格朗日方程的w求偏导，你会得到和对带有正则化的损失函数求偏导一样的结果，不信你试试。
将正则化问题转化为带有约束条件的优化问题就很容易理解了，直接上图，

图中等高线是我们的优化目标，黄色区域是我们的约束区域，很容易发现如果原问题目标函数的最优解不是恰好落在解空间内，那么约束条件下的最优解一定是在解空间的边界上，而L1“棱角分明”的解空间显然更容易与目标函数等高线在角点碰撞，从而产生稀疏解。

解释2：损失函数曲线

第二个角度试图用更直观的图示来解释L1产生稀疏性这一现象。仅考虑一维的情况，多维情况是类似的，如图所示。假设棕线是原始目标函数L(w)的曲线图，显然最小值点在蓝点处，且对应的w * 值非0。
首先，考虑加上L2正则化项，目标函数变成L(w)+Cw 2 ，其函数曲线为黄色。此时，最小值点在黄点处，对应的w * 的绝对值减小了，但仍然非0。

然后，考虑加上L1正则化项，目标函数变成L(w)+C|w|，其函数曲线为绿色。此时，最小值点在红点处，对应的w是0，产生了稀疏性。

产生上述现象的原因也很直观。加入L1正则项后，对带正则项的目标函数求导，正则项部分产生的导数在原点左边部分是?C，在原点右边部分是C，因此，只要原目标函数的导数绝对值小于C，那么带正则项的目标函数在原点左边部分始终是递减的，在原点右边部分始终是递增的，最小值点自然在原点处。相反，L2正则项在原点处的导数是0，只要原目标函数在原点处的导数不为0，那么最小值点就不会在原点，所以L2只有减小w绝对值的作用，对解空间的稀疏性没有贡献。